2º Estudio FORMAS PLANAS

Las figuras planas son aquellas que están limitadas por líneas rectas o curvas, además de que todos sus puntos están contenidos en un solo plano.Las figuras planas pueden ser cóncavas o convexas. Una figura es cóncava cuando tiene por lo menos un ángulo cóncavo, y es convexa cuando todos sus ángulos interiores son convexos. Un polígono es una figura plana limitada por tres o más segmentos. Sus elementos son: vértices, lados, ángulos y diagonales.Este diseño, es una interpretación del Grito de Munch recreado apartar de formas planas. Apartir de aquí haremos un estudio de cada forma y como conseguirla.

Los triángulos

Un triángulo es un polígono de 3 lados. Sus propiedades son:
Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
a < b + c
a > b - c
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º
A + B + C =180º
El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
α = A + B
α = 180º - C
 Podemos clasificarlos:
    Por sus lados:
        Equilátero: Tres lados iguales.
        Isósceles: Dos lados iguales.
        Escaleno: Tres lados desiguales.
    Por sus ángulos:
        Acutángulos: Tres lados agudos.
        Rectágulo: Un ángulo recto, hipotenusa (lado mayor) y ds lados llamamos catetos.
        Obtusángulo: Un lado obtuso.
Perímetro:
Equilátero=3.lado
Isósceles=2.lado+base
Escaleno=lado+lado+lado
Área:
No rectángulo=Base.Hipotenusa/2
Rectángulo=Cateto+cateto/2

Lucía, Creación realizada con GeoGebra (pinchando en la imagen la veremos ampliada) En azul los triángulos rectángulos, son triángulos con un ángulo recto de 90º, pero el número 1 y 2 es escaleno pues sus lados no son iguales.Su área la calculamos:A=AB.AC/2. Aquí volvemos a ver a dos triángulos homotéticos, con la posición de thales, es decir,el triángulo ABC que es el número 1, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C' que es el 2, cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.Con lo cual llegamos a : AB/AB´=AC/AC´=BC/B´C, estos tienen centro homotético A. El triángulo azul número 3, es un triángulo rectángulo isósceles, sus dos de sus lados son iguales.Y su área se haya al igual que el anterior, donde A.C/2=A.Su perímetro lo tenemos sumando sus lados, o en el caso del isósceles también: P= C.2+B El único triángulo verde, es el equilátero, todos sus lados son iguales, al igual que sus ángulos, su perímetro lo hallamos con la fórmula P=3.A y podemos calcular la altura que es h=√3/2.AB por ejemplo, y luego se calcula el área que es A=√3/4.AB², con la fórmula de la altura podemos hallar la mitad y con la del área el triángulo entero Los triángulos rojos son escalemos, es decir, que ninguno de sus lados ni ángulos son iguales.Su área la hallamos sumando todos sus lados y su perímetro dividiéndolo a la mitad para obtener un ángulo recto y hallar cada parte, el área de un triángulo es igual a base por altura partido por 2.La altura es la recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación). A= C.h/2 La altura de un triángulo se puede encontrar de diferentes maneras, dependiendo del tipo de triángulo y la información que se tiene o se mide. Los Triángulos rectángulos, que incluyen un ángulo de 90 grados, son los más fáciles de medir usando el teorema de Pitágoras (si las longitudes de dos lados se conocen) o la fórmula del área (si el área y la base se conocen). Los Triángulos equiláteros, en los que todos los lados son de igual longitud, y los triángulos isósceles, en el que tres de sus lados son de igual longitud, se pueden cortar por la mitad, creando dos triángulos rectángulos. Los Triángulos oblicuos, aquellos que no tienen el ángulo interior igual a 90 grados, son más difíciles, y requieren de la trigonometría para encontrar su altura.Primero tenemos que halar el área el A=1/2.CB ,cogiendo el triángulo verde como ejemplo.Se resuelve la altura, h=A(0.5CB), así calculamos la altura de un triángulo. Cuadriláteros

Un cuadrilátero es un polígono que tiene 4 lados. Al ser un polígono, dos lados contiguos no pueden estar alineados. 

Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene los lados paralelos dos a dos. Propiedades: Los lados opuestos son iguales. Los ángulos opuestos son iguales y los consecutivos suplementarios. Las diagonales se cortan en el punto medio. Perímetro: 4.lado= p; lado+lado+lado+lado Área: Lado²=área : Lado.Lado Son: Rectángulos:         Cuadrado         Rectángulo Oblicuángulos:         Rombo         Romboide

El trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos, y los otros dos no son paralelos:

Los lados paralelos se denominan base mayor y base menor.

La distancia entre los lados paralelos se llama altura.

          Trapecio rectángulo
          Trapecio isósceles
          Trapecio escaleno

Se denomina trapezoide a un cuadrilátero que no tiene lados paralelos. Por tanto es un cuadrilátero sin más propiedades adicionales:

       Trapezoide simetrico

       Trapezoide asimetrico 

Lucía, Creación realizada con GeoGebra Se trata de dos rectángulos a figura 1 y 2 en rojo: El rectángulo tiene lados iguales dos a dos y los 4 ángulos rectos y las diagonales son iguales.Para hallar la diagonal tendremos que dividir el rectángulo en triángulos y utilizar el teorema de pitágoras, entonces: d1²=A²+B² o d2²=C²+D² Para hallar su área multiplicamos la altura por la base, lo cual nos quedaría  que si X es el área: X=AC o X=AD. Esto nos dará la superficie en metros cuadrados, que por el contrario para calcular su perímetro, tendremos que sumar todos sus lados o lo que es igual en nuestro diseño, si P es perímetro:P=2(A+B) Las figuras 3,4 y 5 en azul son Romboides, con ellas semejamos las manos. El romboide tiene lados iguales y paralelos dos a dos, consta de dos ángulos agudos y dos obtusos.Para calcular su área, como en el rectángulo, tenemos que partirlo en triángulos, así obtenemos la altura que en este caso es h.El área A=B.h Su perímetro lo hallamos sumando todos sus lados P=A+B+C+D o sumando dos lados que no sean opuestos y multiplicandolo por 2 , en este caso :Perímetro: 2(A+B)=P  Las figuras 6,7 y 8 y  son trapecios.El trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos, llamados base mayor y base menor. El número 8 y el número 9 son trapecios rectángulos, estos tienen un solo ángulo recto.Para calcular su área tenemos que partir el trapecio en rectángulo/cuadrado y triángulo por el lado del ángulo recto. El área se haya: AC.h; o (B+D)/2.h. Su perímetro como siempre, sumando los lados. El cuadrado, la figura verde número 9, es un cuadrilátero con todos sus lados y ángulos iguales, los ángulos son de 90º.Las diagonales de un cuadrado son iguales, perpendiculares y bisectrices de sus ángulos.El área del cuadrado se haya exponiendo su lado al cuadrado;A=A²Y su perímetro, multiplicando un lado por 4:P=4.A Para hallar  su diagonal, hacemos E²=A²+B² o e=A√2 Pentágonos y Octógonos El pentágono regular es una figura geométrica plana cuyos cinco lados y ángulos son iguales: Suma de ángulos interiores de un pentágono = (5 − 2) · 180° = 540° El valor de un ángulo interior del pentágono regular es: 540º : 5 = 108º El ángulo central del pentágono regular mide: 360º : 5 = 72º El apotema se haya:√r²-(1/2)² El perímetro= 5 . lados  Área=perímetro.apotema/2 Un octógono regular es un polígono de ocho lados y ocho ángulos iguales. Ángulos del octágono Suma de ángulos interiores de un octágono = (8 − 2) · 180° = 1080° El valor de un ángulo interior del octágono regular es 1080º : 8 = 135º El ángulo central del octágono regular mide: 360º : 8 = 45º Perímetro=8.Lado Área=perímetro.apotema/2

Lucía, Creación realizada con GeoGebra En este diseño, solo encontramos un pentágono Entendemos por pentágono cualquier polígono de 5 lados. Sin embargo, cuando estudiamos el pentágono nos centramos en el pentágono regular, es decir, aquél que tiene todos los ángulos y todos los lados iguales. El pentágono dibujado unas líneas antes es un pentágono regular. El apotema es la recta que une el punto medio de un polígono regular con cualquiera de sus lados.  Cuando nos referimos a una pirámide regular, la apotema es la altura de cada una de sus caras triangulares.  Suma de ángulos  En el pentágono hay 5 ángulos iguales de 108°, que suman 540°.  Si nos fijamos atentamente en la figura del pentágono regular, veremos que se puede descomponer en 5 triángulos iguales como podemos apreciar en el dibujo En el pentágono regular encontramos dos elementos: la longitud del lado, que es al mismo tiempo la base de uno de los triángulos(AB=AO1) y la apotema(h), que es la altura de uno de esos triángulos interiores.P=AB.5 Para calcular el área primero debemos encontrar el área de un triángulo interior y luego multiplicar el resultado por los 5 triángulos del pentágono, puesto que todos los triángulos interiores son iguales. Con lo cual:A=AB.h/2.5 El óvalo  Curva cerrada y plana formada por cuatro arcos de circunferencia tangentes entre sí e iguales dos a dos. Perímetro: El perímetro del óvalo es difícil de calcular , por lo que: Esta aproximación está a menos de 5% del valor correcto, siempre que r muy achatada: p=2π√r²+s²/2  El famoso matemático indio Ramanujan descubrió esta aproximación más exacta: p=π[3(r+s)-√(3r+s)(r+3S) Área= π.radio mayor.radio menor

Lucía, Creación realizada con GeoGebra Un óvalo es una forma geométrica que se parece a un círculo alargado. Otro nombre para un óvalo es "elipse"Área de un óvalo es la cantidad de espacio contenida dentro de la forma.El óvalo lo he utilizado para marcar la cara y labora del tan expresivo grito. Para calcular el área, lo primero es dividir el óvalo en 2, el cual la intersección con el perímetro llamaremos A y C (eje mayor)y el mismo procedimiento perpendicularmente , a los puntos le llamamos B y D(eje menor). Se mide los radios desde el punto central al perímetro y le llamamos r1 y r2.Si medimos el diámetros de los ejes, tendríamos que divividirlo entre 2. Una vez tenemos la medida se multiplica para obtener el diámetro total: D=r1.r2 y  el resultado lo multiplicamos por π : A=D.3,14y así obtemos su área.

1º Estudio SECCIÓN AUREA

A lo largo del tiempo todos los artistas han buscado una forma de división de las cosas perfectas pero no había nada que indicase en que proporción debían estar las cosas(seres vivos, objetos...).Ahora sabemos que existe una fórmula muy conocida en el mundo del diseño, que permite dividir el espacio en partes iguales, para lograr un efecto estético agradable y que puede llegar a ser muy eficaz. Esta teoría se denomina "La regla Áurea", también conocida como "Divina Proporción" o "Numero áureo".
 El rectángulo dorado es un rectángulo que posee una proporcionalidad entre sus lados igual a la razón áurea. Por lo tanto:

Rectángulo áureo Lucía, Creación realizada con GeoGebra Dibujamos un cuadrado y hayamos la mediatríz del segmento A,D (d) este será el punto E , el cual unidos con C para trazar una circunferencia con centro de E a C. Se prolonga el segmento A,D y hasta el punto F y obtenemos el segmento A,F. Prolongamos B,C (b) y una paralela al segmento A,B (f) desde F. Estas se unen en el punto G y nos da el segmento G,F (h). Así obtenemos el rectángulo áureo. Para mayor comprensión llamamos al lado del cuadrado a y del rectángulo b.Para calcular el valor del número áureo (Fhi) :a+b/a = a/b  a² = b (a+b) a² = ab + b² a² =ab - b² = 0 Una vez esto se sustituye a como x y b como 0: x²-x-1=0 Entonces: ED =√5 EF=ED=√5 AF=AE+EF=1+√5 Finalmente AF/AB = 1+√5/2 =φ= 1,618 número irracional       2 Los rectángulos AFGB y DFGC son semejantes entre sí.

Espiral Áurea Lucía, Creación realizada con GeoGebra Es una curva compuesta por una sucesión de cuartos de circunferencia tangentes a cuadrados cuyos lados están en razón áurea: Dibujamos un rectángulo áureo según el método explicado antes. Lo tendremos pues descompuesto en un cuadrado y otro rectángulo más pequeño (que sabemos que es a su vez áureo). En el cuadrado dibujamos circunscrito un cuarto de circunferencia. Dividimos el segundo rectángulo áureo en un cuadrado y un rectángulo ,basta llevar con el compás el lado más estrecho del triángulo sobre el mayor para tener la longitud del lado del cuadrado. En el nuevo cuadrado dibujamos circunscrito un cuarto de circunferencia de modo que empiece donde terminó el trozo de circunferencia.Esto se repite indefinidamente. Una espiral muy semejante a la espiral áurea es la espiral de Fibonaccii,está construida utilizando rectángulos con la proporción áurea. Es una aproximación a la espiral logarítmica. La sucesión inicia con 0, y a partir de ahí cada elemento, es la suma de los dos anteriores(0,1,1,2,3,5,8...). A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonaccii.A pesar de que la sucesión de Fibonacci consta únicamente de números naturales, su fórmula explícita incluye al numero irracional. De hecho, la relación con este número es estrecha. √5 fn = ((1 + √5)/2)n - ((1 - √5)/2)n.

Retícula áurea   Lucía, Creación realizada con GeoGebra  Con frecuencia se usa una combinación del rectángulo y de la secuencia de Fibonacci  para establecer la proporción general de la página y los márgenes del libro clásico. Una vez tenemos el espacio para trabajar nuestra revista o nuestro libro , con dividimos de A a C y de B a D. Con esto conseguimos el pliegue , es decir , la mitad del espacio.Del punto C y D , prologamos una linea que nos lleva a la mitad, al punto E. La intersección entre los puntos anteriores nos da los puntos I y G .Los cuales prolongamos con un segmento hasta el segmento AB el cual llamamos punto H y J , seguido también unimos I e G , que al cortarse por el segmento EF nos da el punto S. Este lo unimos con H y nos da el punto T, que si prolongamos  y hacemos sucesiva mente el mismo paso que para adquirir el punto T y conseguimos los puntos K, W, y G. Por los cuales trazamos un rectángulo , el cual será el margen para nuestra retícula áurea. Esta sucesión de puntos es lo que nos daría una espiral áurea. La fórmula por tanto es : φ= R5+1 / 2 = 1'61803398 Y su inversa (sección áurea) : φ= R5-1 / 2 = 0'61803398 Forman una serie aditiva, porque entre los dos valores está el factor 1. EJEMPLOS APLICADOS A DISEÑOS Espiral y Rectángulo  Áureo En este cartel vemos aplicada la espiral áurea y el rectángulo áureo. Las lineas coinciden con la cámara, los ojos, la nariz, cara y separa la foto de la tipografía. Retícula Áurea Vemos dos ejemplos , el primero aplicado a una publicación mas rústica y el siguiente a una más moderna.