6º Estudio GEOMETRIA IMPOSIBLE

Con una geometría imposible hemos realizado un cartel para el aniversario de un museo. Representa el número, 80:

Las geometrías imposibles son aquellas que se pueden dibujar en un papel pero que no pueden construirse en el mundo tridimensional.

En la figura realizada vemos representado como si fuera el número 80 en  una escultura, sus formas serían imposibles en la realidad, pues, si nos fijamos en las caras de la figura geométrica no son fieles a la realidad. Caras que no coinciden, no tienen fin, no tienen profundidad o sentido. Ha sido creada recogiendo información y haciendo bocetos y estudiando las formas.

Resultado del estudio:

Es complicado explicar una figura cuyo sentido se pierde en la misma. 

4ºEstudio SISTEMA DIÉDRICO

La geometría descriptiva es la ciencia que estudia la representación de los elementos del espacio sobre el plano.

Utiliza unos métodos, llamados sistemas de representación, que se basan en el concepto de proyección desde un punto sobre el plano para reducir las tres dimensiones del espacio a las dos dimensiones del plano. Los sistemas de representación han de cumplir el principio de reversibilidad, es decir, que utilizando un sistema de representación podamos representar un cuerpo del espacio sobre el plano, y partiendo de dicha representación lo podamos reconstruir en el espacio.

Tenemos el siguiente cartel dedicado a una muestra de escultura en honor a la Bauhaus:

Del concepto de proyección desde un punto sobre el plano, se derivan los tres tipos de proyecciones que utilizan los distintos sistemas de representación. Si el punto desde el que se proyectan los elementos del espacio sobre el plano es propio, el tipo de proyección es cónica, y cilíndrica, si es impropio. La proyección cilíndrica puede ser ortogonal u oblícua dependiendo de que el rayo proyectante sea perpendicular u oblícuo al plano de proyección.Para que las proyecciones de los elementos del espacio queden representadas sobre un único plano de proyección, que coincida con el plano del dibujo, se abate el plano Horizontal hasta hacerlo coincidir con el Vertical . De esta manera, tendremos representado el espacio tridimensional sobre un único plano.

Un punto del espacio se representa por sus dos proyecciones ortogonales sobre los planos de proyección. El punto A del espacio queda representado por sus proyecciones a sobre el plano Horizontal, y a' sobre el plano Vertical.
Al abatir el plano horizontal, alrededor de la línea de tierra, sobre el vertical, la proyección a del punto se traslada con el plano, de manera que las proyecciones a-a' quedan situadas sobre la misma perpendicular a la línea de tierra . Cuando hacemos coincidir los planos abatidos con el plano del dibujo, sólo nos queda la LT y las proyecciones del punto, pero no el punto del espacio.La cota es la distancia del punto del espacio al plano horizontal A-a, y se representa en el sistema diédrico, como la distancia de la proyección vertical a' a la línea de tierra. El alejamiento es la distancia al plano vertical y quedaría representado por la distancia de la proyección vertical a la línea de tierra A-a.






Plano de perfil(PP)Es paralelo al plano de perfil y perpendicular al vertical y al horizontal. Sobre ambas trazas se proyectan los elementos contenidos en él, los cuales se proyectan en verdadera magnitud en el plano de perfil de proyección.
Plano horizontal(PH)Es un plano paralelo al plano horizontal de proyección; por lo tanto todos sus puntos tienen la misma cota. Su traza vertical, sobre la cual se proyecta verticalmente todo el plano es paralela a la línea de tierra. El plano se proyecta horizontalmente en verdadero tamaño. Plano vertical.(PV) Es un plano perpendicular al plano horizontal de proyección; por lo tanto su traza vertical es perpendicular a la línea de tierra, todo el plano se proyecta horizontalmente sobre su traza horizontal.
Al abatir el plano perfil obtenemos las vistas:

Si la pieza tiene más complejidad  como en nuestro caso puede ser necesario representar otra vista en algún plano más de proyección.

5ºEstudio LA HOMOLOGIA

Una holografía es la correspondencia existente entre dos figuras , en el espacio, fruto de seccionar una radiación por dos planos. Las figuras pueden mantener su forma y proporciones o ninguna de estas, en nuestro caso la sombra proyectada no mantiene su formula ninguna de las figuras.

Cuando todos los elementos que intervienen en una  holografía se proyectan sobre un plano se denomina homología, que es lo que representa nuestro diseño.Vemos el ejemplo en un cartel de construcciones, la ventana del muro y la luz que proyecta son homólogas.

Tenemos la figura que queremos proyectar, en este caso el cuadrado A´B´C´D´, la linea E es el eje, el eje es la recta de intersección entre el plan del suelo y el del dibujo donde se cortan las retas homólogas. El centro que es O es el punto donde confluyen las rectas que unen cada punto con su homólogo.La linea L´es límite, esto es un lugar geométrico donde los puntos homólogos situados en infinito en el plano suelo π. 

Los puntos homólogos(A´B´C´D) están alineados con el centro O.Las rectas Homólogas (M=M´) se cortan siempre en un punto sobre el eje de homología (AO).La recta L´es decir límite es paralela al eje , pero no homóloga.

Lo primero que tenemos que hacer es, desde A´ trazamos una recta a E que nos da los dobles M=M´, hacemos una paralela a esta que valla desde O a l , la llamamos S y juntamos estos puntos. Trazamos ahora una recta de B´ y  Á´ hasta o y marcamos los puntos A y B donde se crucen con la recta MS.Ahora hacemos el mismo procedimiento con el punto D´y nos dará los puntos C y D. Si unimos los puntos que acabamos de hallar: A B C y D nos da el cuadrado homólogo que buscamos. Decir también que la linea que proyecta C´ nos da su punto homólogo C y así con los demás puntos. Así que A=A´; B=B´;C=C´y D=D´.

3ºEstudio DISEÑO CON TANGENTES Y ECUACION DE LA RECTA TANGENTE

El diseño se trata de un cartel para un campeonato de billar:

Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. Aqui tenemos el esqueleto de la tangencia:

Para llegar a esto hemos seguido  el siguiente procedimiento:

Tenemos las rectas en las cuales queremos inscribir las circunferencias que sea tangentes a dos rectas que pasen por punto P.Los centros de todas las circunferencias posibles tangentes a las rectas se han de encontrar a la misma distancia de ellas.Por lo tanto se han de encontrar en la bisectriz del ángulo que forman.

Elegimos un centro cualquiera par las circunferencias, trazamos desde el una perpendicular a una de las rectas para encontrar el punto de tangencia y el radio y trazamos la circunferencia.

Planteamos las circunferencias como el resultado de una homotecia de centro C y trazamos una recta que valla de C  y pase por P.

Esto nos da los puntos P´P´´de P en las dos homotecias y unimos P´con O1 para dibujar el radio, y trazamos una paralela de P´O1 que determina en la bisectríz el primer centro buscado.PO1 es el homotético de P´O1.Desde O2 trazamos perpendiculares a las rectas para encontrar los puntos de tangencia y realizamos lo mismo que con O2 desde P´´.

Matemáticamente podemos expresarlo con la ecuación de la recta tangente, a una función en un punto.La derivada de la función f (x) en el punto P es igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto.Coordenadas del punto P (x0,f(x0))

La pendiente M es igual a la tangente del ángulo que forman la función f (x) y la recta tangente. y-f(x0)=m(x-x0)

Sustituímos la pendiente por el valor de la derivada primera en ese punto: y-f (x0)=f´(x0)(x-x0) que despejada nos queda: y=f´(x0)(x-x0)+f(x0).

El punto P forma parte de la función (x) y de la ecuación de la recta tangente.

1ºEstudio TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS BÁSICAS

1ºESTUDIO

Estudio de diseño sobre las transformaciones geométricas básicas. 

Estudio de los grupos de transformaciones.

En este apartado se verá como a partir de homotecias, semejanzas, giros, simetrías y el teorema de Thales sacamos este cartel para una coctelería:

La homotecia la podemos utilizar para la amplificación o reducción geometrica de nuestros diseños.

Se llama homotecia a la transformación geométrica que hace corresponder a un punto A otro A’, alineado con A y con otro punto fijo O, tal que: OA’/OA= K . Al punto O se le denomina centro de homotecia, y al número K, razón de la homotecia.

Cuando K es positiva la razón se denomina directa y los puntos homotéticos estarán a un mismo lado del centro O, como ocurre en el primer ejemplo:

Los triángulos 1 y 2 son homotéticos, su centro de homotecia es O1, lo cual sus segmentos guardan una relación de proporción y paralelismo y sus ángulos son iguales por lo que son semejantes, el triángulo 2 es una ampliación del triángulo 1,o una escala.Sea K un número positivo, cuando aplicamos una homotecia de centro O1 y razón k a un punto cualquiera A, obtenemos otro punto A' de la semirrecta que definen O y A, de manera que O1A=k.O1A´ La relación entre los triángulos la definimos como:O1A/O1A´=O1B/O1B´=K

Por otro lado tenemos el ejemplo si la homotecia es negativa:

Cuando K es negativa la homotecia se denomina inversa y los puntos homotéticos estarán a distinto lado del centro O:Si queremos encontrar el punto y la razón de homotecia del triángulo 1 y 2; del punto A; A´ , tendríamos que dividir la distancia que hay entre e punto de homotecia a un vértice de cada punto, es decir que O2A´/O2A=K y esto nos daría un que K es negativa.

Aquí vemos, dos triángulos en posición de Thales:

Dado un triángulo ABC que es el número 1, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C' que es el 2, cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.Con lo cual llegamos a : AB/AB´=AC/AC´=BC/B´C, estos tienen centro homotético A.

Con esto llegamos a que los triángulos homotéticos tienen las propiedades de:

-El centro de homotecia y los puntos homólogos están alineados. 

-Toda recta  que no pase por el centro de homotecia se transforma en otra  paralela.

-La razón entre dos segmentos homólogos es igual a la razón de homotecia.

-Dos triángulos de lados paralelos son homotéticos; el vértice de homotecia y la razón K se obtienen al unir sus vértices homólogos. 

-Los ángulos homólogos son iguales ya que sus lados son paralelos.

La semejanza , es el producto de una homotecia por un movimiento:

Cuando dos triángulos son semejantes, los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales en medida.

La homotecia da lugar a semejanza, escala y proporción. Pero centrándonos en el casi de la semejanza, no tiene porque venir dada por una homotecia. Como dije en anterioridad, vemos que el triángulo 1 es homotético al 2, que mediante un giro formamos el triángulo 3, este es semejante a 1 y 2 , pero no es homotético a ellos, en cambio 1 y 2 si lo son entre si.

Por lo tanto en las figuras 1 y 3:

Sus lados son proporcionales A/A´´=B/B´´=C/C´´ y sus ángulos iguales a=a´´;b=b´´;c=c´´.La razón es la semejanza.La razón de sus perímetros es igual a la razón de semejanza en la que A/A´´=B/B´´=C/C´´=A+B+C/A´´+B´´+C´´=P/P´´=razón de semejanza,la razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza:S/S´´=r2

Aquí vemos un giro central:

Como se aprecia repetimos y desplazamos la misma figura con el mismo eje O3,giro a la derecha del triángulo 1 que se transforma tras el movimiento en el triángulo 2 y 3, los giros son movimientos isométricos, dado que conservan las distancias.Dados el punto O3 y un ángulo α, se llama giro de centro O y ángulo α a una transformación  que hace corresponder a cada punto P(A,B,C) otro P'(A´,A´´,B´,B´´,C´´,C´) = G(P) de modo que: O3P=O3P´=O3P´.El sentido de giro positivo si es del contrario al movimiento de las agujas del reloj como este caso.

Y por último la simetría axial:

En este caso vemos una simetría axial, el eje X es una transformación, por lo que a todo punto P (A,B,C) de la figura 1 le corresponde otro punto P´(A´,B´,C´), de manera que el eje X sea la mediatríz de los segmentos AA´,BB´yCC´.Son isometrías, porque conservan las distancias entre los puntos y sus homólogos.Por lo que: ABC=A´B´C

2º Estudio FORMAS PLANAS

Las figuras planas son aquellas que están limitadas por líneas rectas o curvas, además de que todos sus puntos están contenidos en un solo plano.Las figuras planas pueden ser cóncavas o convexas. Una figura es cóncava cuando tiene por lo menos un ángulo cóncavo, y es convexa cuando todos sus ángulos interiores son convexos. Un polígono es una figura plana limitada por tres o más segmentos. Sus elementos son: vértices, lados, ángulos y diagonales.Este diseño, es una interpretación del Grito de Munch recreado apartar de formas planas. Apartir de aquí haremos un estudio de cada forma y como conseguirla.

Los triángulos

Un triángulo es un polígono de 3 lados. Sus propiedades son:
Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
a < b + c
a > b - c
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º
A + B + C =180º
El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
α = A + B
α = 180º - C
 Podemos clasificarlos:
    Por sus lados:
        Equilátero: Tres lados iguales.
        Isósceles: Dos lados iguales.
        Escaleno: Tres lados desiguales.
    Por sus ángulos:
        Acutángulos: Tres lados agudos.
        Rectágulo: Un ángulo recto, hipotenusa (lado mayor) y ds lados llamamos catetos.
        Obtusángulo: Un lado obtuso.
Perímetro:
Equilátero=3.lado
Isósceles=2.lado+base
Escaleno=lado+lado+lado
Área:
No rectángulo=Base.Hipotenusa/2
Rectángulo=Cateto+cateto/2

Lucía, Creación realizada con GeoGebra (pinchando en la imagen la veremos ampliada) En azul los triángulos rectángulos, son triángulos con un ángulo recto de 90º, pero el número 1 y 2 es escaleno pues sus lados no son iguales.Su área la calculamos:A=AB.AC/2. Aquí volvemos a ver a dos triángulos homotéticos, con la posición de thales, es decir,el triángulo ABC que es el número 1, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C' que es el 2, cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.Con lo cual llegamos a : AB/AB´=AC/AC´=BC/B´C, estos tienen centro homotético A. El triángulo azul número 3, es un triángulo rectángulo isósceles, sus dos de sus lados son iguales.Y su área se haya al igual que el anterior, donde A.C/2=A.Su perímetro lo tenemos sumando sus lados, o en el caso del isósceles también: P= C.2+B El único triángulo verde, es el equilátero, todos sus lados son iguales, al igual que sus ángulos, su perímetro lo hallamos con la fórmula P=3.A y podemos calcular la altura que es h=√3/2.AB por ejemplo, y luego se calcula el área que es A=√3/4.AB², con la fórmula de la altura podemos hallar la mitad y con la del área el triángulo entero Los triángulos rojos son escalemos, es decir, que ninguno de sus lados ni ángulos son iguales.Su área la hallamos sumando todos sus lados y su perímetro dividiéndolo a la mitad para obtener un ángulo recto y hallar cada parte, el área de un triángulo es igual a base por altura partido por 2.La altura es la recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación). A= C.h/2 La altura de un triángulo se puede encontrar de diferentes maneras, dependiendo del tipo de triángulo y la información que se tiene o se mide. Los Triángulos rectángulos, que incluyen un ángulo de 90 grados, son los más fáciles de medir usando el teorema de Pitágoras (si las longitudes de dos lados se conocen) o la fórmula del área (si el área y la base se conocen). Los Triángulos equiláteros, en los que todos los lados son de igual longitud, y los triángulos isósceles, en el que tres de sus lados son de igual longitud, se pueden cortar por la mitad, creando dos triángulos rectángulos. Los Triángulos oblicuos, aquellos que no tienen el ángulo interior igual a 90 grados, son más difíciles, y requieren de la trigonometría para encontrar su altura.Primero tenemos que halar el área el A=1/2.CB ,cogiendo el triángulo verde como ejemplo.Se resuelve la altura, h=A(0.5CB), así calculamos la altura de un triángulo. Cuadriláteros

Un cuadrilátero es un polígono que tiene 4 lados. Al ser un polígono, dos lados contiguos no pueden estar alineados. 

Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene los lados paralelos dos a dos. Propiedades: Los lados opuestos son iguales. Los ángulos opuestos son iguales y los consecutivos suplementarios. Las diagonales se cortan en el punto medio. Perímetro: 4.lado= p; lado+lado+lado+lado Área: Lado²=área : Lado.Lado Son: Rectángulos:         Cuadrado         Rectángulo Oblicuángulos:         Rombo         Romboide

El trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos, y los otros dos no son paralelos:

Los lados paralelos se denominan base mayor y base menor.

La distancia entre los lados paralelos se llama altura.

          Trapecio rectángulo
          Trapecio isósceles
          Trapecio escaleno

Se denomina trapezoide a un cuadrilátero que no tiene lados paralelos. Por tanto es un cuadrilátero sin más propiedades adicionales:

       Trapezoide simetrico

       Trapezoide asimetrico 

Lucía, Creación realizada con GeoGebra Se trata de dos rectángulos a figura 1 y 2 en rojo: El rectángulo tiene lados iguales dos a dos y los 4 ángulos rectos y las diagonales son iguales.Para hallar la diagonal tendremos que dividir el rectángulo en triángulos y utilizar el teorema de pitágoras, entonces: d1²=A²+B² o d2²=C²+D² Para hallar su área multiplicamos la altura por la base, lo cual nos quedaría  que si X es el área: X=AC o X=AD. Esto nos dará la superficie en metros cuadrados, que por el contrario para calcular su perímetro, tendremos que sumar todos sus lados o lo que es igual en nuestro diseño, si P es perímetro:P=2(A+B) Las figuras 3,4 y 5 en azul son Romboides, con ellas semejamos las manos. El romboide tiene lados iguales y paralelos dos a dos, consta de dos ángulos agudos y dos obtusos.Para calcular su área, como en el rectángulo, tenemos que partirlo en triángulos, así obtenemos la altura que en este caso es h.El área A=B.h Su perímetro lo hallamos sumando todos sus lados P=A+B+C+D o sumando dos lados que no sean opuestos y multiplicandolo por 2 , en este caso :Perímetro: 2(A+B)=P  Las figuras 6,7 y 8 y  son trapecios.El trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos, llamados base mayor y base menor. El número 8 y el número 9 son trapecios rectángulos, estos tienen un solo ángulo recto.Para calcular su área tenemos que partir el trapecio en rectángulo/cuadrado y triángulo por el lado del ángulo recto. El área se haya: AC.h; o (B+D)/2.h. Su perímetro como siempre, sumando los lados. El cuadrado, la figura verde número 9, es un cuadrilátero con todos sus lados y ángulos iguales, los ángulos son de 90º.Las diagonales de un cuadrado son iguales, perpendiculares y bisectrices de sus ángulos.El área del cuadrado se haya exponiendo su lado al cuadrado;A=A²Y su perímetro, multiplicando un lado por 4:P=4.A Para hallar  su diagonal, hacemos E²=A²+B² o e=A√2 Pentágonos y Octógonos El pentágono regular es una figura geométrica plana cuyos cinco lados y ángulos son iguales: Suma de ángulos interiores de un pentágono = (5 − 2) · 180° = 540° El valor de un ángulo interior del pentágono regular es: 540º : 5 = 108º El ángulo central del pentágono regular mide: 360º : 5 = 72º El apotema se haya:√r²-(1/2)² El perímetro= 5 . lados  Área=perímetro.apotema/2 Un octógono regular es un polígono de ocho lados y ocho ángulos iguales. Ángulos del octágono Suma de ángulos interiores de un octágono = (8 − 2) · 180° = 1080° El valor de un ángulo interior del octágono regular es 1080º : 8 = 135º El ángulo central del octágono regular mide: 360º : 8 = 45º Perímetro=8.Lado Área=perímetro.apotema/2

Lucía, Creación realizada con GeoGebra En este diseño, solo encontramos un pentágono Entendemos por pentágono cualquier polígono de 5 lados. Sin embargo, cuando estudiamos el pentágono nos centramos en el pentágono regular, es decir, aquél que tiene todos los ángulos y todos los lados iguales. El pentágono dibujado unas líneas antes es un pentágono regular. El apotema es la recta que une el punto medio de un polígono regular con cualquiera de sus lados.  Cuando nos referimos a una pirámide regular, la apotema es la altura de cada una de sus caras triangulares.  Suma de ángulos  En el pentágono hay 5 ángulos iguales de 108°, que suman 540°.  Si nos fijamos atentamente en la figura del pentágono regular, veremos que se puede descomponer en 5 triángulos iguales como podemos apreciar en el dibujo En el pentágono regular encontramos dos elementos: la longitud del lado, que es al mismo tiempo la base de uno de los triángulos(AB=AO1) y la apotema(h), que es la altura de uno de esos triángulos interiores.P=AB.5 Para calcular el área primero debemos encontrar el área de un triángulo interior y luego multiplicar el resultado por los 5 triángulos del pentágono, puesto que todos los triángulos interiores son iguales. Con lo cual:A=AB.h/2.5 El óvalo  Curva cerrada y plana formada por cuatro arcos de circunferencia tangentes entre sí e iguales dos a dos. Perímetro: El perímetro del óvalo es difícil de calcular , por lo que: Esta aproximación está a menos de 5% del valor correcto, siempre que r muy achatada: p=2π√r²+s²/2  El famoso matemático indio Ramanujan descubrió esta aproximación más exacta: p=π[3(r+s)-√(3r+s)(r+3S) Área= π.radio mayor.radio menor

Lucía, Creación realizada con GeoGebra Un óvalo es una forma geométrica que se parece a un círculo alargado. Otro nombre para un óvalo es "elipse"Área de un óvalo es la cantidad de espacio contenida dentro de la forma.El óvalo lo he utilizado para marcar la cara y labora del tan expresivo grito. Para calcular el área, lo primero es dividir el óvalo en 2, el cual la intersección con el perímetro llamaremos A y C (eje mayor)y el mismo procedimiento perpendicularmente , a los puntos le llamamos B y D(eje menor). Se mide los radios desde el punto central al perímetro y le llamamos r1 y r2.Si medimos el diámetros de los ejes, tendríamos que divividirlo entre 2. Una vez tenemos la medida se multiplica para obtener el diámetro total: D=r1.r2 y  el resultado lo multiplicamos por π : A=D.3,14y así obtemos su área.