3ºEstudio DISEÑO CON TANGENTES Y ECUACION DE LA RECTA TANGENTE

El diseño se trata de un cartel para un campeonato de billar:

Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. Aqui tenemos el esqueleto de la tangencia:

Para llegar a esto hemos seguido  el siguiente procedimiento:

Tenemos las rectas en las cuales queremos inscribir las circunferencias que sea tangentes a dos rectas que pasen por punto P.Los centros de todas las circunferencias posibles tangentes a las rectas se han de encontrar a la misma distancia de ellas.Por lo tanto se han de encontrar en la bisectriz del ángulo que forman.

Elegimos un centro cualquiera par las circunferencias, trazamos desde el una perpendicular a una de las rectas para encontrar el punto de tangencia y el radio y trazamos la circunferencia.

Planteamos las circunferencias como el resultado de una homotecia de centro C y trazamos una recta que valla de C  y pase por P.

Esto nos da los puntos P´P´´de P en las dos homotecias y unimos P´con O1 para dibujar el radio, y trazamos una paralela de P´O1 que determina en la bisectríz el primer centro buscado.PO1 es el homotético de P´O1.Desde O2 trazamos perpendiculares a las rectas para encontrar los puntos de tangencia y realizamos lo mismo que con O2 desde P´´.

Matemáticamente podemos expresarlo con la ecuación de la recta tangente, a una función en un punto.La derivada de la función f (x) en el punto P es igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto.Coordenadas del punto P (x0,f(x0))

La pendiente M es igual a la tangente del ángulo que forman la función f (x) y la recta tangente. y-f(x0)=m(x-x0)

Sustituímos la pendiente por el valor de la derivada primera en ese punto: y-f (x0)=f´(x0)(x-x0) que despejada nos queda: y=f´(x0)(x-x0)+f(x0).

El punto P forma parte de la función (x) y de la ecuación de la recta tangente.