1ºEstudio TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS BÁSICAS

1ºESTUDIO

Estudio de diseño sobre las transformaciones geométricas básicas. 

Estudio de los grupos de transformaciones.

En este apartado se verá como a partir de homotecias, semejanzas, giros, simetrías y el teorema de Thales sacamos este cartel para una coctelería:

La homotecia la podemos utilizar para la amplificación o reducción geometrica de nuestros diseños.

Se llama homotecia a la transformación geométrica que hace corresponder a un punto A otro A’, alineado con A y con otro punto fijo O, tal que: OA’/OA= K . Al punto O se le denomina centro de homotecia, y al número K, razón de la homotecia.

Cuando K es positiva la razón se denomina directa y los puntos homotéticos estarán a un mismo lado del centro O, como ocurre en el primer ejemplo:

Los triángulos 1 y 2 son homotéticos, su centro de homotecia es O1, lo cual sus segmentos guardan una relación de proporción y paralelismo y sus ángulos son iguales por lo que son semejantes, el triángulo 2 es una ampliación del triángulo 1,o una escala.Sea K un número positivo, cuando aplicamos una homotecia de centro O1 y razón k a un punto cualquiera A, obtenemos otro punto A' de la semirrecta que definen O y A, de manera que O1A=k.O1A´ La relación entre los triángulos la definimos como:O1A/O1A´=O1B/O1B´=K

Por otro lado tenemos el ejemplo si la homotecia es negativa:

Cuando K es negativa la homotecia se denomina inversa y los puntos homotéticos estarán a distinto lado del centro O:Si queremos encontrar el punto y la razón de homotecia del triángulo 1 y 2; del punto A; A´ , tendríamos que dividir la distancia que hay entre e punto de homotecia a un vértice de cada punto, es decir que O2A´/O2A=K y esto nos daría un que K es negativa.

Aquí vemos, dos triángulos en posición de Thales:

Dado un triángulo ABC que es el número 1, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C' que es el 2, cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.Con lo cual llegamos a : AB/AB´=AC/AC´=BC/B´C, estos tienen centro homotético A.

Con esto llegamos a que los triángulos homotéticos tienen las propiedades de:

-El centro de homotecia y los puntos homólogos están alineados. 

-Toda recta  que no pase por el centro de homotecia se transforma en otra  paralela.

-La razón entre dos segmentos homólogos es igual a la razón de homotecia.

-Dos triángulos de lados paralelos son homotéticos; el vértice de homotecia y la razón K se obtienen al unir sus vértices homólogos. 

-Los ángulos homólogos son iguales ya que sus lados son paralelos.

La semejanza , es el producto de una homotecia por un movimiento:

Cuando dos triángulos son semejantes, los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales en medida.

La homotecia da lugar a semejanza, escala y proporción. Pero centrándonos en el casi de la semejanza, no tiene porque venir dada por una homotecia. Como dije en anterioridad, vemos que el triángulo 1 es homotético al 2, que mediante un giro formamos el triángulo 3, este es semejante a 1 y 2 , pero no es homotético a ellos, en cambio 1 y 2 si lo son entre si.

Por lo tanto en las figuras 1 y 3:

Sus lados son proporcionales A/A´´=B/B´´=C/C´´ y sus ángulos iguales a=a´´;b=b´´;c=c´´.La razón es la semejanza.La razón de sus perímetros es igual a la razón de semejanza en la que A/A´´=B/B´´=C/C´´=A+B+C/A´´+B´´+C´´=P/P´´=razón de semejanza,la razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza:S/S´´=r2

Aquí vemos un giro central:

Como se aprecia repetimos y desplazamos la misma figura con el mismo eje O3,giro a la derecha del triángulo 1 que se transforma tras el movimiento en el triángulo 2 y 3, los giros son movimientos isométricos, dado que conservan las distancias.Dados el punto O3 y un ángulo α, se llama giro de centro O y ángulo α a una transformación  que hace corresponder a cada punto P(A,B,C) otro P'(A´,A´´,B´,B´´,C´´,C´) = G(P) de modo que: O3P=O3P´=O3P´.El sentido de giro positivo si es del contrario al movimiento de las agujas del reloj como este caso.

Y por último la simetría axial:

En este caso vemos una simetría axial, el eje X es una transformación, por lo que a todo punto P (A,B,C) de la figura 1 le corresponde otro punto P´(A´,B´,C´), de manera que el eje X sea la mediatríz de los segmentos AA´,BB´yCC´.Son isometrías, porque conservan las distancias entre los puntos y sus homólogos.Por lo que: ABC=A´B´C