6º Estudio GEOMETRIA IMPOSIBLE

Con una geometría imposible hemos realizado un cartel para el aniversario de un museo. Representa el número, 80:

Las geometrías imposibles son aquellas que se pueden dibujar en un papel pero que no pueden construirse en el mundo tridimensional.

En la figura realizada vemos representado como si fuera el número 80 en  una escultura, sus formas serían imposibles en la realidad, pues, si nos fijamos en las caras de la figura geométrica no son fieles a la realidad. Caras que no coinciden, no tienen fin, no tienen profundidad o sentido. Ha sido creada recogiendo información y haciendo bocetos y estudiando las formas.

Resultado del estudio:

Es complicado explicar una figura cuyo sentido se pierde en la misma. 

4ºEstudio SISTEMA DIÉDRICO

La geometría descriptiva es la ciencia que estudia la representación de los elementos del espacio sobre el plano.

Utiliza unos métodos, llamados sistemas de representación, que se basan en el concepto de proyección desde un punto sobre el plano para reducir las tres dimensiones del espacio a las dos dimensiones del plano. Los sistemas de representación han de cumplir el principio de reversibilidad, es decir, que utilizando un sistema de representación podamos representar un cuerpo del espacio sobre el plano, y partiendo de dicha representación lo podamos reconstruir en el espacio.

Tenemos el siguiente cartel dedicado a una muestra de escultura en honor a la Bauhaus:

Del concepto de proyección desde un punto sobre el plano, se derivan los tres tipos de proyecciones que utilizan los distintos sistemas de representación. Si el punto desde el que se proyectan los elementos del espacio sobre el plano es propio, el tipo de proyección es cónica, y cilíndrica, si es impropio. La proyección cilíndrica puede ser ortogonal u oblícua dependiendo de que el rayo proyectante sea perpendicular u oblícuo al plano de proyección.Para que las proyecciones de los elementos del espacio queden representadas sobre un único plano de proyección, que coincida con el plano del dibujo, se abate el plano Horizontal hasta hacerlo coincidir con el Vertical . De esta manera, tendremos representado el espacio tridimensional sobre un único plano.

Un punto del espacio se representa por sus dos proyecciones ortogonales sobre los planos de proyección. El punto A del espacio queda representado por sus proyecciones a sobre el plano Horizontal, y a' sobre el plano Vertical.
Al abatir el plano horizontal, alrededor de la línea de tierra, sobre el vertical, la proyección a del punto se traslada con el plano, de manera que las proyecciones a-a' quedan situadas sobre la misma perpendicular a la línea de tierra . Cuando hacemos coincidir los planos abatidos con el plano del dibujo, sólo nos queda la LT y las proyecciones del punto, pero no el punto del espacio.La cota es la distancia del punto del espacio al plano horizontal A-a, y se representa en el sistema diédrico, como la distancia de la proyección vertical a' a la línea de tierra. El alejamiento es la distancia al plano vertical y quedaría representado por la distancia de la proyección vertical a la línea de tierra A-a.






Plano de perfil(PP)Es paralelo al plano de perfil y perpendicular al vertical y al horizontal. Sobre ambas trazas se proyectan los elementos contenidos en él, los cuales se proyectan en verdadera magnitud en el plano de perfil de proyección.
Plano horizontal(PH)Es un plano paralelo al plano horizontal de proyección; por lo tanto todos sus puntos tienen la misma cota. Su traza vertical, sobre la cual se proyecta verticalmente todo el plano es paralela a la línea de tierra. El plano se proyecta horizontalmente en verdadero tamaño. Plano vertical.(PV) Es un plano perpendicular al plano horizontal de proyección; por lo tanto su traza vertical es perpendicular a la línea de tierra, todo el plano se proyecta horizontalmente sobre su traza horizontal.
Al abatir el plano perfil obtenemos las vistas:

Si la pieza tiene más complejidad  como en nuestro caso puede ser necesario representar otra vista en algún plano más de proyección.

5ºEstudio LA HOMOLOGIA

Una holografía es la correspondencia existente entre dos figuras , en el espacio, fruto de seccionar una radiación por dos planos. Las figuras pueden mantener su forma y proporciones o ninguna de estas, en nuestro caso la sombra proyectada no mantiene su formula ninguna de las figuras.

Cuando todos los elementos que intervienen en una  holografía se proyectan sobre un plano se denomina homología, que es lo que representa nuestro diseño.Vemos el ejemplo en un cartel de construcciones, la ventana del muro y la luz que proyecta son homólogas.

Tenemos la figura que queremos proyectar, en este caso el cuadrado A´B´C´D´, la linea E es el eje, el eje es la recta de intersección entre el plan del suelo y el del dibujo donde se cortan las retas homólogas. El centro que es O es el punto donde confluyen las rectas que unen cada punto con su homólogo.La linea L´es límite, esto es un lugar geométrico donde los puntos homólogos situados en infinito en el plano suelo π. 

Los puntos homólogos(A´B´C´D) están alineados con el centro O.Las rectas Homólogas (M=M´) se cortan siempre en un punto sobre el eje de homología (AO).La recta L´es decir límite es paralela al eje , pero no homóloga.

Lo primero que tenemos que hacer es, desde A´ trazamos una recta a E que nos da los dobles M=M´, hacemos una paralela a esta que valla desde O a l , la llamamos S y juntamos estos puntos. Trazamos ahora una recta de B´ y  Á´ hasta o y marcamos los puntos A y B donde se crucen con la recta MS.Ahora hacemos el mismo procedimiento con el punto D´y nos dará los puntos C y D. Si unimos los puntos que acabamos de hallar: A B C y D nos da el cuadrado homólogo que buscamos. Decir también que la linea que proyecta C´ nos da su punto homólogo C y así con los demás puntos. Así que A=A´; B=B´;C=C´y D=D´.

3ºEstudio DISEÑO CON TANGENTES Y ECUACION DE LA RECTA TANGENTE

El diseño se trata de un cartel para un campeonato de billar:

Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. Aqui tenemos el esqueleto de la tangencia:

Para llegar a esto hemos seguido  el siguiente procedimiento:

Tenemos las rectas en las cuales queremos inscribir las circunferencias que sea tangentes a dos rectas que pasen por punto P.Los centros de todas las circunferencias posibles tangentes a las rectas se han de encontrar a la misma distancia de ellas.Por lo tanto se han de encontrar en la bisectriz del ángulo que forman.

Elegimos un centro cualquiera par las circunferencias, trazamos desde el una perpendicular a una de las rectas para encontrar el punto de tangencia y el radio y trazamos la circunferencia.

Planteamos las circunferencias como el resultado de una homotecia de centro C y trazamos una recta que valla de C  y pase por P.

Esto nos da los puntos P´P´´de P en las dos homotecias y unimos P´con O1 para dibujar el radio, y trazamos una paralela de P´O1 que determina en la bisectríz el primer centro buscado.PO1 es el homotético de P´O1.Desde O2 trazamos perpendiculares a las rectas para encontrar los puntos de tangencia y realizamos lo mismo que con O2 desde P´´.

Matemáticamente podemos expresarlo con la ecuación de la recta tangente, a una función en un punto.La derivada de la función f (x) en el punto P es igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto.Coordenadas del punto P (x0,f(x0))

La pendiente M es igual a la tangente del ángulo que forman la función f (x) y la recta tangente. y-f(x0)=m(x-x0)

Sustituímos la pendiente por el valor de la derivada primera en ese punto: y-f (x0)=f´(x0)(x-x0) que despejada nos queda: y=f´(x0)(x-x0)+f(x0).

El punto P forma parte de la función (x) y de la ecuación de la recta tangente.

1ºEstudio TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS BÁSICAS

1ºESTUDIO

Estudio de diseño sobre las transformaciones geométricas básicas. 

Estudio de los grupos de transformaciones.

En este apartado se verá como a partir de homotecias, semejanzas, giros, simetrías y el teorema de Thales sacamos este cartel para una coctelería:

La homotecia la podemos utilizar para la amplificación o reducción geometrica de nuestros diseños.

Se llama homotecia a la transformación geométrica que hace corresponder a un punto A otro A’, alineado con A y con otro punto fijo O, tal que: OA’/OA= K . Al punto O se le denomina centro de homotecia, y al número K, razón de la homotecia.

Cuando K es positiva la razón se denomina directa y los puntos homotéticos estarán a un mismo lado del centro O, como ocurre en el primer ejemplo:

Los triángulos 1 y 2 son homotéticos, su centro de homotecia es O1, lo cual sus segmentos guardan una relación de proporción y paralelismo y sus ángulos son iguales por lo que son semejantes, el triángulo 2 es una ampliación del triángulo 1,o una escala.Sea K un número positivo, cuando aplicamos una homotecia de centro O1 y razón k a un punto cualquiera A, obtenemos otro punto A' de la semirrecta que definen O y A, de manera que O1A=k.O1A´ La relación entre los triángulos la definimos como:O1A/O1A´=O1B/O1B´=K

Por otro lado tenemos el ejemplo si la homotecia es negativa:

Cuando K es negativa la homotecia se denomina inversa y los puntos homotéticos estarán a distinto lado del centro O:Si queremos encontrar el punto y la razón de homotecia del triángulo 1 y 2; del punto A; A´ , tendríamos que dividir la distancia que hay entre e punto de homotecia a un vértice de cada punto, es decir que O2A´/O2A=K y esto nos daría un que K es negativa.

Aquí vemos, dos triángulos en posición de Thales:

Dado un triángulo ABC que es el número 1, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C' que es el 2, cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.Con lo cual llegamos a : AB/AB´=AC/AC´=BC/B´C, estos tienen centro homotético A.

Con esto llegamos a que los triángulos homotéticos tienen las propiedades de:

-El centro de homotecia y los puntos homólogos están alineados. 

-Toda recta  que no pase por el centro de homotecia se transforma en otra  paralela.

-La razón entre dos segmentos homólogos es igual a la razón de homotecia.

-Dos triángulos de lados paralelos son homotéticos; el vértice de homotecia y la razón K se obtienen al unir sus vértices homólogos. 

-Los ángulos homólogos son iguales ya que sus lados son paralelos.

La semejanza , es el producto de una homotecia por un movimiento:

Cuando dos triángulos son semejantes, los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales en medida.

La homotecia da lugar a semejanza, escala y proporción. Pero centrándonos en el casi de la semejanza, no tiene porque venir dada por una homotecia. Como dije en anterioridad, vemos que el triángulo 1 es homotético al 2, que mediante un giro formamos el triángulo 3, este es semejante a 1 y 2 , pero no es homotético a ellos, en cambio 1 y 2 si lo son entre si.

Por lo tanto en las figuras 1 y 3:

Sus lados son proporcionales A/A´´=B/B´´=C/C´´ y sus ángulos iguales a=a´´;b=b´´;c=c´´.La razón es la semejanza.La razón de sus perímetros es igual a la razón de semejanza en la que A/A´´=B/B´´=C/C´´=A+B+C/A´´+B´´+C´´=P/P´´=razón de semejanza,la razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza:S/S´´=r2

Aquí vemos un giro central:

Como se aprecia repetimos y desplazamos la misma figura con el mismo eje O3,giro a la derecha del triángulo 1 que se transforma tras el movimiento en el triángulo 2 y 3, los giros son movimientos isométricos, dado que conservan las distancias.Dados el punto O3 y un ángulo α, se llama giro de centro O y ángulo α a una transformación  que hace corresponder a cada punto P(A,B,C) otro P'(A´,A´´,B´,B´´,C´´,C´) = G(P) de modo que: O3P=O3P´=O3P´.El sentido de giro positivo si es del contrario al movimiento de las agujas del reloj como este caso.

Y por último la simetría axial:

En este caso vemos una simetría axial, el eje X es una transformación, por lo que a todo punto P (A,B,C) de la figura 1 le corresponde otro punto P´(A´,B´,C´), de manera que el eje X sea la mediatríz de los segmentos AA´,BB´yCC´.Son isometrías, porque conservan las distancias entre los puntos y sus homólogos.Por lo que: ABC=A´B´C